Тысячи рублей хватит на 5 элешей и 17 эчпочмаков, но не хватит на 9 элешей и 10 эчпочмаков. На какое наибольшее количество эчпочмаков гарантированно хватит четырех тысяч рублей? Элеш и эчпочмак не обязательно чтоят целое число рублей.

Пусть $a$ --- стоимость элеша, $b$ --- эчпочмака. Тогда $5a+17b\leq 1000$, $9a+10b>1000$. Отсюда $5000-50b<45a\leq 9000-153b$, откуда $103b<4000$, т.е. 4000 хватит на 103 эчпочмака.
Этих денег может уже и не хватить на 104 эчпочмака: например, пусть эчпочмак стоит 38 рублей 83 копейки, а элеш - 67 рублей 97 копеек. Тогда 5 элешей и 17 эчпочмаков стоят 999 рублей 96 копеек, в 9 элешей и 10 эчпочмаков - уже 1000 рублей 3 копейки. При этом 103 эчпочмака стоят 3999 рублей 49 копеек, а 104 эчпочмака - 4038 рублей 32 копейки.

Аня, Ваня и Саня рисовали чёртиков на чистых тетрадных листах. Экономная Аня нарисовала больше чёртиков, чем Ваня и Саня вместе, и израсходовала на это меньше всех листочков. Расточительный Ваня нарисовал меньше всех чёртиков, но извёл листочков больше, чем Аня вместе с Саней. Больше пяти чёртиков на листочек не влезает. А какое наименьшее количество листочков могла изрисовать Аня?

Пусть у Ани было $n$ листочков. Тогда у Сани их было не менее $n+1$, а у Вани - не менее $2n+2$. Значит, Ваня нарисовал не менее $2n+2$ чертиков, а Саня – не менее $2n+3$ чертиков. Следовательно, Аня нарисовала не менее $4n+6$ чертиков. Но поскольку у Ани было лишь $n$ листочков, то она не могла нарисовать больше $5n$ чертиков. Значит, $4n+6\leq 5n$, откуда $n\geq 6$.

Пример строится из оценки. Пусть у Ани было 6 листочков и 30 чёртиков, у Вани - 14 листочков и 14 чёртиков, у Сани - 7 листочков и 15 чёртиков.

В зоопарке слонов больше, чем львов. И среди львов, и среди слонов есть трусливые и смелые. Трусливых львов в 3 раза больше, чем смелых слонов. Трусливых слонов четверо. Сколько в зоопарке слонов и львов вместе?

Обозначим за ТС, СС, ТЛ и СЛ количество трусливых слонов, смелых слонов, трусливых львов и смелых львов соответственно. Из условия ТС=4, ТС+СС>ТЛ+СЛ, ТЛ=3СС. Тогда 4+СС>3СС+СЛ, 4>2СС+СЛ. Так как CC>0 и СЛ>0, имеем СС=СЛ=1, ТЛ=3, ТС=4 по условию. Итого общее количество слонов и львов - 9.

В классе некоторые девочки умные, другие – красивые, а в некоторых оба качества совмещаются. Валера заметил, что даже если утроить количество умных и красивых девочек, их всё равно окажется меньше, чем девочек, обладающих ровно одним из предложенных качеств. А Илья сосчитал, что красивых девочек в два раза больше, чем умных. Красивых девочек меньше 16. Какое наибольшее количество девочек могут быть одновременно красивыми и умными?

Пусть К – количество только красивых, У – только умных, а С (от «супер») –
количество красивых и умных девочек. Тогда:
3С < К + У, (1)
2(У + С) = К + С. (2)
Удвоим (1) и сложим с (2), тогда получим 6С + 2У + 2С < 2К + 2У + К + С, то есть 7С < 3К, откуда 2С < К или 3С < К + С. Поскольку К + С < 16 и их чётное количество (так как вдвое больше, чем У + С), то К + С не более 14, а тогда 3С < 14, откуда С не более 4.

Пример на 4 легко привести, имея в виду предыдущее рассуждение. Пусть красивых и умных девочек ровно 4, только красивых - 10, только умных - 3.

По результатам олимпиады по математике награждали 8 человек. Им подарили в сумме 84 книги. Известно, что все они заняли разные места, причем те, кто заняли место выше, получили и книг больше. Кроме того, ребята, занявшие 7-е и 8-е места, получили в сумме больше книг, чем победитель олимпиады (то есть занявший 1-е место). Сколько книг получил участник, занявший 8-е место?

Докажем, что победитель не мог получить меньше 14 книг. В самом деле, если он получил $n$ книг, тогда 7-е и 8-е места получили не более $x-6$ и $x-7$ книг, а вместе - не более $2x-13$ книг. Но тогда $2x-13>x$, откуда $x>13$. Значит, победитель получил не менее 14 книг.

Если победитель получил 14 книг, то два последних места должны были получить 7 и 8 книг (иначе неравенство не будет выполняться), а тогда 2-е место получило 13 кг=ниг, 3-е - 12 книг, и т.д. Такой вариант возможен.

Если же у победителя не менее 15 книг, то у 7-го места не менее 9 книг, у 6-го - не менее 10 книг, и т.д. Но тогда все участники, кроме восьмого, уже получили не менее 9+10+11+12+!3+14+15=84 книги, т.е. восьмому не досталось ничего. Но тогда седьмой и восьмой вместе получили меньше книг, чем победитель.

Даша, Маша, Паша и Саша соревнуются в поедании бананов. На четверых они съели 70 штук, причем каждый хоть что-то съел. Паша съел больше, чем каждый из остальных. Даша и Маша съели вместе 45 бананов. Сколько бананов съел Саша?

По условию Саша съел не менее одного банана. Но если бы он съел хотя бы 2 банана, то Паше должно достаться не более 23 бананов. А тогда Даша и Маша съели не более 22 бананов каждая. Значит, вместе они съели не более 44 бананов, что противоречит условию.

Шесть карасей легче пяти щук, но тяжелее 10 лещей. Найдите высказывания, которые заведомо являются верными; высказывания, который заведомо неверны; высказывания, которые могут оказаться как верными, так и неверными. В качестве ответа напишите одну или несколько цифр без пробелов
1) Два карася тяжелее, чем три леща,
2) Один карась тяжелее, чем два леща,
3) Четыре карася легче трёх щук,
4) Семь карасей тяжелее 6 щук,
5) Шесть щук тяжелее 11 лещей.

Верные: __, неверные: __, высказывания с неопределённой истинностью: __

Обозначим массы карася, щуки и леща за К, Щ и Л соответственно. Мы знаем, что 6К>10Л, т.е. К>5/3Л. Тогда 2К>10/3Л>9/3Л=3Л, откуда первое высказывание всегда истинно.

Второе высказывание может быть как истинно (например, если один карась по весу равен трём лещам), так и ложным (например, если карась весит 11/6 леща).

Также мы имеем 6К<5Щ (т.е. К<5/6Щ), откуда 4К<10/3Щ. Третье высказывание может быть как ложным (например, если 4К=19/6Щ), так и истинным (например, если Щ=2К).

Также имеем 7K<35/6Щ<6Щ, поэтому 4 высказывание ложно всегда.

Если мы сравниваем массы щуки и леща, то мы имеем неравенства 10Л<6К<5Щ, откуда 10Л< 5Щ и 2Л<Щ. Тогда 6Щ>12Л>11Л.

Миша за 4 года учебы получил 22 годовые пятерки. В каждом следующем году он получал больше пятёрок, чем в предыдущем, а в четвёртом классе получил в 3 раза больше пятёрок, чем в первом. Сколько пятёрок мог получить Миша в третьем классе?

Если в первом классе две пятёрки, то в четвёртом 6, и тогда максимум 2+4+5+6<22. А если в первом классе 4 пятёрки (или больше), то минимум 4+5+6+12>22. Значит, в первом классе 3 пятёрки, в 4-м - 9 пятёрок, а значит,
во втором и третьем в сумме 10, т.е. во втором 4, в третьем 6.

Девять конфет стоят 11 рублей с копейками, а тринадцать таких же конфет стоят 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна конфета? Ответ дайте в копейках.

Обозначим цену конфеты за $x$. Девять конфет стоят больше 11 рублей, т.е. $9x>11$, $x>11/9>1,22$. С другой стороны, 13 конфет стоят меньше 16 рублей, откуда $x<16|13<1,231$. Так как число копеек должно быть целым, то единственная возможность - 1 рубль 23 копейки.

У Крохи есть красные и синие кубики. Кроха любит ставить кубики один на другой так, чтобы получались высокие башни. Кроха заметил, что башня из двух красных кубиков ниже, чем башня из пяти синих, а башня из трёх красных кубиков выше башни из семи синих. А ещё он заметил, что высота башни из нескольких красных кубиков точно равна высоте башне из 12 синих. Сколько красных кубиков в такой башне?

Башня из $2\cdot 2 = 4$ красных кубиков будет ниже башни из $2 \cdot 5 = 10$ синих и тем более ниже башни из 12 синих. Башня из $2 \cdot 3 = 6$ красных кубиков будет выше башни из $2 \cdot 7 = 14$ синих и тем более выше башни из 12 синих.
Следовательно, башне из 12 синих кубиков может быть равна только башня из 5 красных кубиков.

В некотором доме один подхезд, а на каждом этаже шесть квартир. Саша живёт выше восьмого этажа. Но если бы на каждом этаже было по семь квартир, то Саша жил бы ниже восьмого этажа. Найдите номер квартиры Саши.

Если Сашина квартира выше восьмого этажа (т.е. не ниже 9-го), то номер Сашиной квартиры не менее 49 (потому что квартира 48 всё ещё на восьмом этаже). Но из второго условия номер квартиры не более 49 (потому что в случае семи квартир на этаже 49 квартира - последняя на 7 этаже). Отсюда следует ответ.

Кошачий корм продаётся в больших и маленьких пакетах. В большом пакете больше корма, чем в маленьком, но меньше, чем в двух маленьких. Одного большого и двух маленьких пакетов корма кошке хватает ровно на два дня. Хватит ли кошке 4 больших и 4 маленьких пакета корма на шесть дней?

Вставьте в решение пропущенные слова и числа.

4 больших и 4 маленьких пакета содержат __ корма, чем 3 больших и 6 маленьких, а их хватает ровно на __ дней. Значит, 4 больших и 4 маленьких пакетов кошке на 6 дней __.

В одном городе много домов, в каждом доме поровну квартир, в каждой квартире поровну аквариумов, в каждом аквариуме поровну рыбок, у каждой рыбки поровну чешуек. Рыбок в каждом доме больше, чем чешуек в каждой квартире. А чего больше: квартир в городе или чешуек у одной рыбки?

Вставьте пропущенные слова в решении:

Обозначим количество квартир в доме за К, количество
аквариумов в квартире за А, количество рыбок в аквариуме за Р,
количество чешуек у рыбки за Ч. Тогда по условию К · А · Р __ А · Р · Ч.
Сокращая на положительное А · Р, получаем, что К__Ч, т. е. квартир
в доме __, чем чешуек у рыбки. Значит, и в городе квартир
__.

Обозначим количество квартир в доме за К, количество
аквариумов в квартире за А, количество рыбок в аквариуме за Р,
количество чешуек у рыбки за Ч. Тогда по условию К · А · Р > А · Р · Ч.
Сокращая на положительное А · Р, получаем, что К > Ч, т. е. квартир
в доме больше, чем чешуек у рыбки. Значит, и в городе квартир
больше.

Ирина выписала несколько различных натуральных чисел, каждое из них не более 30. Среди любых трёх из выписанных чисел найдётся чётное, а среди любых четырёх чисел найдётся число, кратное трём. Какое наибольшее количество чисел могла выписать Ирина?

Нечётных чисел не более двух, не кратных трём – не более трёх. Остальные числа делятся на 6, а таких чисел не более 5. Значит, всего выписанных чисел не более 10.

Десять чисел могло быть выписано: например, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 20, 30.

В доме живут четыре девочки:Маша, Валя, Таня и Галя. Две из них ровесницы. Известно, что Таня старше Маши, Таня моложе Вали, Валя старше Гали, Маша моложе Гали. Кто ровесницы?
___ и ___

Обозначим возраста девочек по первым буквам имён, т.е. М, Т, В и Г. Из условий имеем М<Т<В и М<Г<В. Отсюда Валя самая старшая, Маша самая младшая, а тогда ровесницами являются Таня с Галей.

Три парты весят больше, чем 10 стульев. Из этого можно сделать вывод что парта тяжелее... скольки стульев? Напишите наибольшее возможное целое число.

Обозначим мыссы парты и стула за П и С соответственно. Тогда 3П>10С, то есть П>10/3С. Ближайшим целым числом, меньшим 10/3, является 3. Следовательно, парта тяжелее трёх стульев, но про 4 стула такого сказать уже нельзя.

Маша, Даша, Веня и Сеня собирали грибы. Маша собрала больше всех грибов, а Даша - не меньше Сени. Верно ли, что девочки собрали больше грибов, чем мальчики?
Восстановите пропущенные слова в регении.
Нам известно, что __ собрала грибов не меньше, чем Сеня. А ещё нам известно, что Маша собрала грибов больше, чем __. Получаем два неравентва: Д$\geq$С, М>В.Неравенства с одним знаком можно __. Тогда получим, что М+Д>В+С, поэтому девочки собрали __, чем мальчики.

Шесть карандашей легче пяти тетрадок, но тяжелее десяти ластиков. Что тяжелее: 2 тетрадки или 3 ластика?

Пусть К, Т и Л --- массы карандаша, тетрадки и ластика. Из условия имеем 5Т>6Л>10Л. Отсюда 5T>10Л, Т>2Л, а тогда 2Т>4Л>3Л.

Семеро гномов разделились на две компании: в одной 4 гнома, в том числе Балин, а в другой 3 гнома, в том числе Двалин. Первая компания выпила 5 бутылок лимонада, причем все пили поровну. Вторая компания выпила 4 бутылки лимонада, причем все тоже пили поровну. Кто выпил больше лимонада: Балин или Двалин?

В первой компании каждому досталось 5/4 бутылок лимонада, а во второй --- 4/3. Так как 4/3>5/4, то Двалин выпил больше.

Саша тяжелее Маши, на легче Паши. Кто тяжелее: Паша или Маша?

Обозначим за М, П и С массы Маши, Паши и Саши. Из условия С>M, C<П. Отсюда П>C>M, т.е. Саша тяжелее Маши.