Из трёх последовательных натуральных чисел выбрали два и сложили. Получилось 3123. Чему может быть равна сумма всех трёх чисел?

Если возможны несколько вариантов, укажите их через пробел в порядке возрастания.

Из трёх последовательных натуральных чисел выбрали два и сложили. Получилось 123. Чему может быть равна сумма всех трёх чисел?

Ответы укажите через пробел в порядке возрастания.

Из трёх последовательных натуральных чисел два крайних имеют одинаковую чётность, следовательно, их сумма не может быть нечётной. Значит из трех последовательных взяли среднее и одно из крайних. Раз сумма двух последовательных чисел равна 123, то это 61 и 62. Тогда третье число может быть 60 или 63. Если прибавить к 123 число 60, то будет 183, если 63, то 186. 

Из трёх последовательных натуральных чисел выбрали два и сложили. Получилось 2023. Чему может быть равно третье число?

Из трёх последовательных натуральных чисел выбрали два и сложили. Получилось 23. Чему может быть равно третье число?

Из трёх последовательных натуральных чисел выбрали два и сложили. Получилось 2026. Чему равно третье число?

Из трёх последовательных натуральных чисел выбрали два и сложили. Получилось 26. Чему равно третье число?

Из трех последовательных чисел любые два отличаются либо на 1, либо на 2. Разложим число 26 на два слагаемых, отличающихся на 1 или на 2. Очевидно, что эти слагаемые 12 и 14, а значит третье число 13. 

Сложили два натуральных числа через одно (то есть числа отличаются на 2) получили 2024. Чему равно большее из них?

Сложили два последовательных числа и получили 2023, чему равно меньшее из них?

Первое решение: У нас есть два числа: меньшее и большее, если увеличить меньшее на 1, то сумма станет равна 2024 и будет равна удвоенному большему. Таким образом большее число равно 1012, а меньшее -- 1011.

Второе решение: Два последовательных числа это n и  n+1, составляем уравнение n+n+1=2023, решаем его и получаем n=1011.

Третье решение. Поделим 2023 на два, получим 1011 и остаток 1. Если взять числа 1011 и 1012, то их сумма подходит! Теперь объясним, что других ответов быть не может. Пусть у нас меньшее число меньше 1011, тогда большее меньше 1012 и, следовательно, их сумма меньше 2023. Если же меньшее число больше 1011, то большее больше 1012 и сумма этих чисел больше 2023.

Чему равна сумма нечётных чисел от 123 до 456?

Нам необходимо вычислить сумму следующих чисел: 123, 125, 127, ..., 455. Узнаем их количество.

1 способ: всего чисел от 123 до 456 ровно 456-122=334, половина из них нечётные, то есть 167.

2 способ: чисел в ряду 123,125,...455 столько же сколько в ряду 2,4,6,...334 (мы вычли из каждого числа 121), а ряд чисел 2,4,...334 это числа в два раза больше чем 1,2,3,...167, которых, очевидно, 167.

Теперь мы знаем, что у нас 167 чисел. Если бы мы считали удвоенную их сумму, то можно было бы разбить на пары: 123+455, 125+453, 127+451,.... 455+123. Пар 167, в каждой сумма равна 578, итого 578\cdot167=96526.

Вспомним, что надо взять половину от этого числа, получаем  48263

Чему равна сумма чётных чисел от 123 до 456?

По условию, ищем сумму четных  чисел от 123 до 456,   значит, если убрать "лишнее" из ряда от 1 до 456 (первые 122 числа), то мы получим количество всех чисел в интересующем нас ряду: 456-122=334 числа. Эти 334 числа- это 167 четных и 167 нечетных чисел. Найдем сумму  ряда из 167-ми четных чисел от числа 124 (наименьшее ) до числа 456 (наибольшее): пропускаем число 124 (иначе не разобьем на пары, не забыть про него), остальные разбиваем (крайние)  на 83 пары, в каждой паре в сумме 582. Итак, 124+83\cdot582 =48430

Чему равна сумма чётных чисел от 10 до 1000?

Среди чисел от 1 до 1000 ровно половина, то есть 500 -- чётных, мы убрали 4 из них: 2, 4, 6, 8. Таким образом нам надо сложить 496 чисел.

Разобьём их на пары с суммой 1010, как в предыдущих задачах, получим

 248\cdot1010=250480 

Чему равна сумма чётных чисел от 1 до 100?

В ряду от 1 до 100 половина чисел чётные. Поэтому, ищем сумму 50-ти последовательных чётных чисел, где наименьшее число 2, а наибольшее число 100:  2+4+6+......96+98+100. Разобьем их на пары: (2+100)+(4+98)+(6+96)+...всего получим 25 пар, в каждой паре сумма равна 102. Тогда искомая сумма равна 25\cdot102=2550  

На сколько сумма чётных чисел от 10 до 100 больше чем сумма нечётных чисел в этом же промежутке?

Сложное решение.

В числовом ряду от 1 до 100 будет находиться сто чисел. Убираем первые девять чисел и получаем нужное нам 91 число. Из этих чисел 46 четных и 45 нечетных (т.к. ряд начинается и заканчивается четными числами, их больше). Найдем сначала суммму четных чисел. Разобьем их на пары (23 пары) двух крайних чисел (10+100, 12+98...). Т.о. сумма всех четных чисел от 10 до 100 равна 110\cdot 23=2530. Найдем теперь  сумму всех нечетных чисел от 10 до 100. Т.к. у нас нечетное количество этих чисел, уберем число 99 и получим 44 нечетных числа, которые мы сможем аналогичным образом рабить на пары, чтобы найти их сумму. Получаем 108\cdot 22+99=2475. Теперь находим разность этих двух сумм: 2530-2475=55.

Простое решение: 

Временно забудем про число 10. Все остальные 90 чисел разбиваются на 45 пар чисел: 11-12, 13-14, 15-16, ..., 99-100. В каждой паре четное число на 1 больше нечётного, следовательно сумма этих 45 четных чисел на 45 больше суммы нечётных. Вспомним про число 10, которое увеличивает сумму чётных чисел еще на 10. Таким образом, сумма всех чётных чисел больше на 55, чем сумма нечётных.

Чему равна сумма нечётных чисел от 1 до 20?

Выделим из этого ряда ряд только нечетных чисел: 1, 3, 5, ..., 17, 19. Всего 10 чисел --- половина от всех.  Разобьём эти числа на пары, объединяя в пару каждый раз крайние. В каждой из получившихся пяти пар сумма одна и та же и равна 20. Значит вся сумма равна 5\cdot 20=100

На сколько сумма чётных чисел от 1 до 100 больше чем сумма нечётных чисел в этом же промежутке?

Можем разбить числа на пары соседних: 1 и 2, 3 и 4, ..., 99 и 100. В каждой такой паре первое число нечетное, а второе четное и больше первого на единицу. Всего 50 таких пар, значит сумма четных чисел больше суммы нечетных на 50.

Чему равна сумма чётных чисел от 1 до 10?

Четных чисел в этом ряду 5, от 2 до 10. Их сумма в два раза больше суммы их половинок. Сумма чисел от 1 до 5 равна 15, значит сумма четных чисел от 2 до 10 равна 30

Чему равна сумма чисел от 13 до 203?

Всего чисел в это ряду $203-12=191$. Отложим пока число 203. Остальные числа можно разбить на 95 пар с суммой $202+13=215$. Теперь посчитаем сумму всех чисел: $215\cdot95+203=20628$.

Чему равна сумма чисел от 3 до 104?

Всего здесь 102 числа, разобьем их на пары с суммой 107 в каждой паре. Получилась 51 пара. Значит, вся сумма равна $51\cdot 107=5457$

Мы хотим найти формулу для вычисления суммы чисел от 1 до n. Какая из формул верная?

Давайте запишем тот же ряд чисел под этим, но в обратном порядке. Теперь у каждого числа под ним стоит число, образующее с ним пару с суммой n+1. Всего получилось n таких пар, но мы записали наш ряд дважды, а значит, сумма всех этих пар в два раза больше той, которую нужно найти. Получаем $n(n+1)/2$

Чему равна сумма чисел от 1 до 101?

Числа от 1 до 100 можно разбить на 50 пар, с суммой 101 в каждой паре. Еще останется число 101. Тогда вся сумма это $51\cdot 101=5151$

Сколько чётных чисел от n до n+399

Посчитаем сначала, сколько всего здесь чисел: число n  и ещё 399, всего 400 чисел. Первое и последнее числа разной четности, все числа разбиваются на пары, в каждой паре ровно одно число чётное, всего пар 200. Значит, чётных чисел в этом ряду 200

Чему равна сумма чисел от 1 до 100?

Здесь 100 чисел, которые можно разбить на 50 пар с  суммой 101 в каждой паре. Значит вся сумма равна $101\cdot50=5050$

Чему равна сумма чисел от 5 до 15?

Чему равна сумма чисел от 1 до 15?

Разобьём числа от 1 до 14 на пары так,  чтобы в каждой паре сумма была 15. Таких пар получилось семь и сталось еще число 15, значит вся сумма равна $8\cdot15=120$

Чему равна сумма чисел от 12 до 21?

В задаче нряд20 мы считали сумму чисел от 2 до 11, а здесь тоже 10 чисел, каждое из которых на 10 больше, чем соответствующее ему число в предыдущей задаче. Значит, сумма чисел в этом ряду больше суммы из предыдущего ряда ровно на $10\cdot10=100$

Чему равна сумма чисел от 2 до 11?

Здесь 10 подряд идущих натуральных чисел, разобьем их на пары, объединяя в пары крайние в ряду: 2 и 11, 3 и 10 и так далее. В каждой паре сумма 13, всего 5 пар, значит вся сумма  равна 65.

Также можно отметить. что ряд чисел предыдущей задачи также содержит  10 чисел, каждое из которых на 1 меньше соответствующего числа в этой. Значит сумма чисел в этой задаче на 10 больше предыдущей суммы: $55+10=65$

Чему равна сумма чисел от 1 до 10?

Всего чисел 10, будем разбивать их на пары, объединяя в пару каждый раз два крайних числа: 1 и 10, 2 и 9 и так далее. Всего получится 5 пар, в каждой такой паре сумма 11, тогда сумма всех чисел  равна 55

Сколько нечётных чисел от 123 до 345?

Всего чисел от 123 до 345 $345-122=223$. Четные и нечетные числа чередуются, первое число --- нечётное, последнее число тоже нечётное. Посчитаем первое число отдельно --- оно нечётное, а остальные разобьём на пары подряд идущих, в каждой такой паре ровно одно нечётное число. Пар получилось 111, а всего нечётных чисел 112.

Сколько всего чисел от 123 до 345?

Всего чисел от 1 до 345 --- 345. Из них мы не берём первые 122 числа. Значит взяли $345-122=223$

Сколько чётных чисел от 123 до 234?

Всего чисел в этом промежутке $234-122=112$. Четные и нечетные числа чередуются, можно разбить их на 56 последовательных пар, в каждой паре ровно одно число четное.

Сколько всего чисел от 123 до 234?

Всего чисел 234-122=112

Каких чисел больше от 148 до 2024, чётных или нечётных?

Начнем разбивать числа на пары соседних, в каждой паре первое число четное, а второе нечетное. Последнее число в нашем ряду 2024, оно четное, значит оно останется без пары, Четных чисел на одно больше

Сколько всего чисел от 10 до 1000?

Первое решение: Давайте посчитаем числа от 1 до 1000, и вычтем количество чисел от 1 до 9. Получим количество спрашиваемое в задаче. 1000-9=991.

Второе решение: числа от 10 до 1000 это:

- все двузначные, которых 90

- все трёхзначные, которых 900

- число 1000

Получаем 900+90+1=991.

Каких чисел от 123 до 201 больше, чётных или нечётных?

Чётные и нечётные числа в натуральном ряду чередуются. Числа от 123 до 200 можно разбить на пары соседних. В каждой такой паре первое число нечётное, а второе чётное. Осталось число 201 без пары --- оно нечётное. Значит нечётных чисел больше на одно.

Каких чисел больше от 10001 до 123456 чётных или нечётных?

Чётные и нечётные числа чередуются.

Так как 10001 нечётое, а 123456 чётное, то числа нашего промежутка разобьются на пары, в каждой паре ровно одно число чётное и одно нечётное.

Сколько всего чисел от n до n+267? Укажите все возможные варианты. Мы считаем, что число n --- натуральное.

Первое решение: Всего n+267  чисел в ряду от 1 до n+267. 

Лишних чисел n-1.

Получаем n+267 - (n -1)= 268.

Второе "решение":

Чисел от n до n+1 -- два, 

чисел от n до n+2 -- три,

чисел от n до n+3 -- четыре,

чисел от n до n+4 -- пять,

видим закономерность, что ответ на 1 больше чем число которое написано в n+??. Ответ 268. 

Это рассуждение решением задачи не является! Но как способ "угадать ответ" вполне годится.

Замечание: Посмотрите решения задачи нряд09 и  попробуйте применить их в этой задаче.

Сколько всего чисел от n до n+10? Укажите все возможные варианты.

Первое решение: Всего n+10  чисел в ряду от 1 до n+10. 

Лишних чисел n-1.

Получим n+10 - (n -1)= 11 

Второе решение (задумчивое): Пусть мы выписали в ряд числа n, n+1, n+2, ... n+10. Давайте во вторую строку, под каждым числом первой строки выпишем число на n-1 меньше. Получим ряд:

1, 2, 3, ..., 11, а в этом ряду 11 чисел.

Третье решение (сложное): Пусть n=1: тогда чисел, очевидно, 11.

Как получить ряд для n=2: надо вычеркнуть число 1 и в конец дописать число 12. Чтобы после этого получить для n=3, надо вычеркнуть первое число 2 и в конец дописать число 13, и так далее...

Чтобы получить ряд для следующего n надо вычеркнуть первое число и дописать второе, таким образом количество чисел не меняется!

(здесь на самом деле сложная мысль) Значит при любом n чисел на доске будет 11. 

Сколько нечётных чисел от 1 до 101?

Чётные и нечётые числа чередуются.

Разобьем их на пары 1-2, 3-4, ..., 99-100

пар 50. В каждой паре ровно одно нечётное число. 

Число 101 осталось без пары, но оно подходит.

Получаем, что нам подходит 51 нечётное число.

Сколько чётных чисел от 1 до 10?

Первое решение: Чётные и нёчетные числа чередуются. Они разбиваются на 5 пар 1-2, 3-4, 5-6, 7-8, 9-10 в каждой из которых ровно одно число чётное.

Второе решение: чётные числа  в этом ряду это 2,4,6,...,10. Заметим, что половинки этих чисел (это же чётные числа) равны 1,2,3,..,5, а в этом ряду ровно 5 чисел.

Сколько натуральных чисел от 2 до 20?

Так как чисел от 1 до 20 -- 20, мы убрали из них одно, получаем 20-1=19.

Сколько всего трёхзначных чисел? 

Первое решение.

Всего от 1 до 999 в натуральном ряду 999 чисел. Первые 99 однозначные или двузначные. Получаем, 999-99=900.

Второе решение.

Первое трехзначное число 100, последнее 999. Длина отрезка ряда 999-100+1=900

Третье решение. 

Трёхзначное число состоит из трёх цифр.

Место первой цифры можно занять девятью способами (ноль не может стоять на первом месте).

Место второй цифры можно занять десятью способами.

Место третьей цифры можно занять десятью способами.

$9\cdot10\cdot10=900$.

Сколько натуральных чисел от 12 до 102?

Чисел от 1 до 102 всего 102.

Чисел от 1 до 11 всего 11.

Чисел от 12 до 102 всего 102-11=91.

Сколько всего двузначных натуральных чисел?

Первое решение.

Всего  99 чисел  в натуральном ряду от 1 до 99. Первые девять однозачные. Получаем, 99-9=90.

Второе решение.

Первое двузначное число 10, последнее 99. Длина орезка ряда 99-10+1=90

Третье решение. 

Двузначное число состоит из двух цифр.

Место первой цифры можно занять девятью способами (ноль не может стоять на первом месте).

Место второй цифры можно занять десятью способами.

$9\cdot 10=90$.

Сколько натуральных чисел от 2 до 11?

Первое решение:

Посчитаем все натуральные числа от 1 до 11.

Их 11. Уберем лишнее, в диапазон не входит одно число.

Получаем 11-1=10.

Второе решение: Заметим, что чисел от 2 до 11 столько же сколько чисел от 1 до 10 (мы можем просто каждое число уменьшить на единицу). А чисел от 1 до 10 ровно 10.

Сколько натуральных чисел от 1 до 10? Здесь и далее мы будем считать, что первое и последнее число мы тоже считаем.

Чисел от 1 до 10 ровно десять. Например потому, что 10 это десятое натуральное число.