\textbf{Алгоритм Евклида} — это эффективный алгоритм для нахождения \textbf{наибольшего общего делителя (НОД)} двух натуральных чисел. 

Основная идея алгоритма содержится в следующем математическом свойстве 
\[
\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(b, r)
\]
где $r$~--- остаток от деления $a$ на $b$.

Таким образом, алгоритм состоит из двух шагов: 

1) для пары чисел $a\geq b$ если $b\neq 0$ находится остаток $r$ от деления $a$ на $b$;

2) пара $a\geq b$ меняется на пару $b\geq r$. 

Процесс повторяется до тех пор, пока остаток не станет равен нулю. Последний ненулевой остаток и будет искомым НОД.

Пример работы.
Найдем $\text{НОД}(1071, 462)$:

\begin{align*}
1071 &= 462 \times 2 + 147 \\
462 &= 147 \times 3 + 21 \\
147 &= 21 \times 7 + 0 \\
\end{align*}

Последний ненулевой остаток~--- 21. Следовательно 
\[
\text{НОД}(1071, 462) = 21.
\]