Ферзь стоит на клетке А2 шахматной доски. Петя и Вася по очереди могут передвигать его на любое количество клеток, но только в трёх направлениях - вправо, вверх или по диагонали вправо-вверх. Начинает Петя. Если кто-то не может сделать ход согласно правилам, то он проигрывает. Какой ход нужно сделать Пете, чтобы точно выиграть после второго своего хода?

На столе лежат две кучи по 10 конфет. Петя и Вася по очереди берут конфеты. Начинает Петя. За один ход можно взять сколько угодно конфет, но только из одной кучи. Проиграет тот, кто не сможет сделать ход. Петя первым делом взял 9 конфет из первой кучи. Как должен действовать Вася, чтобы победить? Он должен взять __ конфет из __ кучи.

Ладья стоит на поле А1 шахматной доски. Петя и Вася по очереди перемещают эту ладью. Начинает Петя, за ход можно переместить ладью на любое количество клеток вверх или вправо. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Петя переместил ладью на А7. Какой ход должен сделать Вася для выигрыша?

Перед Петей и Васей есть куча из 100 конфет. Они делают ходы по очереди, начинает Петя. За один ход можно взять от 1 до 5 конфет. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Заполните пропуски в решении задачи.
Выиграет __. Пусть мы уже играем в эту игру (неважно, на стороне Пети или Васи), перед нами куча из n конфет, и сейчас наш ход. Если мы можем походить, чтобы в итоге выиграть, то такая позиция будет называться выигрышной (в дальнейшем решении будем называть её В). Если же все ходы приводят к нашему проигрышу при правильных ходах соперника, то такую позицию будем называть проигрышной (П).

Позиция 0 (когда осталось 0 конфет, и сейчас наш ход), очевидно, __. Позиции от 1 до 5 - __ (потому что можно сделать ход и перейти в позицию 0). Позиция 6 - __ (потому что из неё можно получить лишь позиции от 1 до 5). Позиции 7-11 - __ (из них можно получить позицию 6). Продолжая далее, заметим, что позиции, кратные 6 - __, а не кратные 6 - __. Так как 100 не кратно 6, то выиграет __, ему нужно для выигрыша взять __ конфет(-ы или -у).

Перед Петей и Васей есть куча из 100 конфет. Они делают ходы по очереди, начинает Петя. За один ход можно взять от 1 до 5 конфет. Прогрывает тот, кто съест последнюю конфету. Кто выиграет при правильной игре?

Заполните пропуски в решении задачи.
Выиграет __. Пусть мы уже играем в эту игру (неважно, на стороне Пети или Васи), перед нами куча из n конфет, и сейчас наш ход. Если мы можем походить, чтобы в итоге выиграть, то такая позиция будет называться выигрышной (в дальнейшем решении будем называть её В). Если же все ходы приводят к нашему проигрышу при правильных ходах соперника, то такую позицию будем называть проигрышной (П).

Позиция 1 (когда осталась 1 конфета, и сейчас наш ход), очевидно, __. Позиции от 2 до 6 - __ (потому что можно сделать ход и перейти в позицию 1). Позиция 7 - __ (потому что из неё можно получить лишь позиции от 2 до 6). Позиции 8-12 - __ (из них можно получить позицию 7). Продолжая далее, заметим, что позиции, дающие остаток 1 при делении на 6 - __, а дающие все остальные остатки при делении на 6 - __. Так как 100 не даёт остаток 1 при делении на 6, то выиграет __, ему нужно для выигрыша взять __ конфет(-ы или -у).

Перед Петей и Васей есть две кучи, по 100 конфет в каждой. Они делают ходы по очереди, начинает Петя. За один ход можно взять любое число конфет, но из одной кучи. Прогрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Заполните пропуски в решении задачи.
Выиграет __. Пусть мы уже играем в эту игру (неважно, на стороне Пети или Васи), перед нами две кучи из $k$ и $n$ конфет, и сейчас наш ход. Если мы можем походить, чтобы в итоге выиграть, то такая позиция будет называться выигрышной (в дальнейшем решении будем называть её В). Если же все ходы приводят к нашему проигрышу при правильных ходах соперника, то такую позицию будем называть проигрышной (П).

Позиция (0,0) (когда конфет не осталось ни в одной из кучек, и сейчас наш ход), очевидно, __. Позиции $(0,k)$ и $(k,0)$ - __ (потому что можно сделать ход и перейти в позицию (0,0)). Позиция (1,1) - __ (потому что из неё можно получить лишь позиции (0,1) или (1,0)). Позиции $(1,k)$ и $(k,1)$ при $k>1 - __ (из них можно получить позицию (1,1)). Продолжая далее, заметим, что позиции $(n,k) с равными $n$ и $k$ - __, а с неравными $n$ и $k$ - __. Так как (100,100) - позиция с равным количеством конфет в долях, то выиграет __.

Пусть есть некоторая игра (играют Петя и Вася, делают ходы по очереди, начинает Петя). Пусть мы уже играем в эту игру (неважно, на стороне Пети или Васи), перед нами некоторая позиция, и сейчас наш ход. Если мы можем походить, чтобы в итоге выиграть, то такая позиция будет называться выигрышной (в дальнейшем решении будем называть её В). Если же все ходы приводят к нашему проигрышу при правильных ходах соперника, то такую позицию будем называть проигрышной (П). Какие утверждения являются верными? Перечислите пункты без пробелов.

а) Из выигрышной позиции можно попадать только на проигрышные,

б) Из проигрышной позиции можно попадать только на выигрышные,

в) Из выигрышной позиции существует хотя бы один ход на проигрышную,

г) Из выигрышной позиции существует ровно один ход на проигрышную,

д) Из проигрышной позиции существует ровно один ход на выигрышную,

е) Из выигрышных позиций можно попадать только на выигрышные, а из проигрышных - только на проигрышные.

Петя и Вася по очереди передвигают ладью. за ход её можно переместить на любое количество полей вверх или вправо. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Перечислите, какие из позиций являются проигрышными: С2, С3, С4, D4, D5, D6. G3, G6, G7.

Петя и Вася по очереди перемещают короля на шахматной доске. За один ход можно переместить его на одну клетку вверх, вправо или по диагонали вверх-вправо. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Какие из перечисленных позиций являются проигрышными? B2, B3, B4, C4, C5, D5, D6, D7.

Петя и Вася по очереди передвигают ладью. за ход её можно переместить на любое количество полей вверх или вправо. Проигрывает тот, кто поставит ладью на поле Н8. Перечислите, какие из позиций являются проигрышными: С2, С3, С4, D4, D5, D6. G3, G6, G7.

Петя и Вася по очереди передвигают слона. За ход его можно переместить на любое количество полей вправо-вверх или вправо-вниз. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Перечислите, какие клетки четвёртой горизонтали являются проигрышными.

Имеется куча из 12345 камней. Петя и Вася ходят по очереди (начинает Петя). За один ход можно взять 5, 6, 7, 8, 9 или 10 камней. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Сколько камней нужно взять Пете первым ходом, чтобы выиграть? Если вы считаете, что выигрышная позиция есть у Васи, то напишите 0.

На доске написано число. Петя и Вася ходят по очереди. За ход можно вычесть из числа любую ненулевую цифру, содержащуюся в данном числе (после хода цифры в числе меняются, и возможности у соперника могут быть другими!) Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Изначально есть число 123456789. Какую цифру необходимо вычесть первому, чтобы выиграть? Если вы считаете, что выигрышная стратегия есть у второго, напишите 0.

На пляже есть куча из 50 камней. За ход можно взять один или несколько камней, но не более трети кучи. Проигрывает тот, кто не может походить (т. е. перед его ходом осталось два камня). Сколько камней необходимо взять первому для выигрыша? Если вы считаете, что выиграет второй, напишите 0.

Имеется куча из 100 камней. Петя и Вася ходят по очереди (начинает Петя). За один ход можно взять 1, 3, 4 или 5 камней. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Сколько камней нужно взять Пете первым ходом, чтобы выиграть? Если вы считаете, что выигрышная позиция есть у Васи, то напишите 0.

Дано число 100. За ход из числа можно вычесть любой его делитель, отличный от самого числа. Проигрывает тот, у кого нет хода (т. е. получивший 1 выигрывает). Какой делитель нужно вычесть, чтобы выиграть? Перечислите все варианты. Если вы считаете, что выигрывает второй, напишите 0.

Дано число 128. За ход из числа можно вычесть любой его делитель, отличный от самого числа, но с одним ограничением: игрок не может вычесть нечётный делитель, если по правилам возможно вычесть чётный (тем самым из 2 можно вычесть 1, а из 4 --- нельзя). Проигрывает тот, у кого нет хода (т. е. получивший 1 выигрывает). Перечислите все варианты. Если вы считаете, что выигрывает второй, напишите 0.

Дано число 96. За ход число $x$ на доске можно заменить на любое число, меньшее $x$ и не являющееся его делителем. Проигрывает тот, у кого нет хода (т. е. получивший 2 выигрывает). Какое число нужно написать первому игроку, чтобы выиграть? Перечислите все варианты. Если вы считаете, что выигрывает второй, напишите 0.

Дано 100 спичек. За ход разрешается брать любое количество спичек, которое является степенью простого числа (в т.ч. 1 или простое число). Проигрывает тот, у кого нет хода. Найдите наименьшее число спичек, которое нужно взять первому, чтобы выиграть. Если вы считаете, что выигрывает второй, то поставьте в качестве ответа 0.