В множестве элементов выбраны два подмножества.

В скольки подмножествах может содержаться фиксированный элемент?

Для учеников класса, в котором учится Ренат, проводят кружки по математике и по физике.

Какое количество кружков может посещать Ренат?

Даны множества $A\subset B$, известно, что $|B|=20$, $|A|=13$, найти $|B\backslash A|$.

В классе 20 человек и 13 из них ходят на дополнительные занятия по русскому языку. Сколько учеников не посещают дополнительных занятий?

Даны множества $A$ и $B$. Известно, что $|A|=10$, $|B|=15$, $|A\cap B|=3$. Найти $|B\backslash A|$.

Из учеников одного класса 10 человек изучают французский язык, а 15 – немецкий. При этом оказалось, что трое из них учат оба языка.

Сколько детей занимаются только немецким?

Даны множества $A$ и $B$. Известно, что $|A\backslash B|=8$, $|B\backslash A|=10$, $|A\cup B|=20$. Найти $|A\cap B|$.

20 человек из класса занимаются в музыкальной школе, и там учатся играть на скрипке или фортепиано. 8 из них учатся только игре на скрипке, а 10 – только игре на фортепиано. Сколько детей изучает оба инструмента?

Даны множества $A$ и $B$. Известно, что $|A|=10$, $|B|=15$, $|A\cap B|=3$.

Найти $|(B\backslash A)\cup(A\backslash B)|$.

Заполните пропуски в решении предыдущей задачи *множества05*.

Дети, которые учат только 1 языка делятся на 2 типа:
а) те, которые учат только французский;
б) те, которые учат только немецкий.

Посчитаем количества детей этих типов по отдельности.

Всего детей занимающихся немецким – 15. Они делятся на два типа:
1) изучающие оба языка,
2) изучающие только немецкий.

Первых по условие трое. Тогда дети, изучающие только немецкий – это оставшиеся __ человек.

Аналогично, всего детей, изучающих французский – 10, и из них 3 изучают оба языка. Значит, только французским занимаются оставшиеся __ детей.

Итого один язык изучают __ человек.

Даны множества $A$ и $B$. Известно, что $|A|=10$, $|B|=15$, $|A\cap B|=3$. Найти $|(B\backslash A)\cup(A\backslash B)|$.

Из учеников одного класса 10 человек изучают французский язык, а 15 – немецкий. При этом оказалось, что трое из них учат оба языка. Сколько детей учат только один язык?

Даны множества $A$ и $B$. Известно, что $|A|=20$, $|B|=16$, $|B\backslash A|=7$. Найти $|A\backslash B|$.

Заполните пропуски в решении задачи.

*Условие.*

_В классе 20 человек дополнительно занимаются историей, а 16 – географией. Сколько человек занимаются историей, но не географией, если известно, что 7 детей изучают географию, но не историю?_

*Решение.*

Из условия знаем, что из 16 детей, занимающихся географией, __ не занимаются историей. Значит оставшиеся $16-7=9$ занимаются и тем, и другимпори.

Тогда и наоборот, из 20 детей, занимающихся историей, __ изучают и географию.

Тогда остальные __ детей, изучающих историю, учат только историю.

Даны множества $A$ и $B$. Известно, что $|A|=20$, $|B|=16$, $|B\backslash A|=7$.

Найти $|A\backslash B|$.

В классе 20 человек дополнительно занимаются историей, а 16 – географией. Сколько человек занимаются историей, но не географией, если известно, что 7 детей изучают географию, но не историю.

Даны множества $A$ и $B$. Известно, что $|A|=14$, $|B|=6$, $|A\cap B|=4$. Найти $|A\cup B|$.

Заполните пропуски в решении задачи.

*Условие.*

_В классе некоторые из учеников записались на занятия по танцам, проходящие по вторникам и четвергам. Известно, что во вторник занятие посетили 14 человек, в четверг – 6. При этом четверо были на занятии оба раза.

Сколько детей хотя бы раз присутствовали на занятиях?_

*Решение.*

Из детей, присутствовавших на занятии хотя бы раз, 14 были во вторник. Тогда остальные – это в точности дети, пришедшие в четверг, но не пришедшие во вторник. В четверг на занятии было 6 человек, из которых __ было и во вторник.

Значит детей, присутствоваших только в четверг – двое. Итого всего детей, пришедших хотя бы раз – __ + __ = __.

Даны множества $A$ и $B$. Известно, что $|A|=14$, $|B|=6$, $|A\cap B|=4$. Найти $|A\cup B|$.

В классе некоторые из учеников записались на занятия по танцам, проходящие по вторникам и четвергам. Известно, что во вторник занятие посетили 14 человек, в четверг – 6. При этом четверо были на занятии оба раза.

Сколько детей хотя бы раз присутствовали на занятиях?

Даны множества $A$ и $B$. Известно, что $|A|=26$, $|A\cup B|= 30$, $|A\cap B|= 10$. Найти $|B|$.

Ученики за каникулы прочитали две книги. Первая книга понравилась 26 детям, а обе книги – десяти. Скольким детям понравилась вторая книга, если оказалось, что каждому из всех   30 учеников класса понравилось хоть что-то из прочитанного?

Даны подмножества $A$ и $B$ в множестве $C$. Известно, что $|C|=32$, $|A|=10$, $|B|=16$, $|A\cap B|=7$. Найти $|C\backslash (A\cup B)|$.

Из класса, в котором учится 32 человека, за день некоторые дети получили оценки (возможно несколько). Пятёрку получило 10 человек, а четверку – 16. Сколько детей не получило ни четверки, ни пятёрки, если семеро получили и четверку и пятёрку?

...

Заполните пропуски в решении задачи.

*Условие.*

_Из 30 учеников второго класса каждый хотя бы раз был на линейке 1 сентября. При этом 24 ребёнка были на линейке в первом классе, и 15 детей – во втором. Сколько ребят присутствовали на линейке оба раза?_

*Решение.*

Всего в классе $30-24=6$ детей, пропустивших линейку в 1 классе. Из условия мы знаем, что они __ 1) были 2) не были на линейке во второй год.

Во второй год на линейке было 15 детей, __ из них не были в предыдущем году,
значит остальные __ – были.

Даны множества $A$ и $B$. Известно, что $|A|=24$, $|B|=15$, $|A\cup B|=30$. Найти $|A\cap B|$.

Из 30 учеников второго класса каждый хотя бы раз был на линейке 1 сентября. При этом 24 ребёнка были на линейке в первом классе, и 15 детей – во втором. Сколько ребят присутствовали на линейке оба раза?

Даны три множества $A, B, C$. Известно, что $|A|=4$, $|B|=15$, $|C|=10$, $|A\cap B|=2$, $|B\cap C|=5$, $|A\cap C|=0$. Найдите $|A\cup B\cup C|$

За один учебный день некоторые из учеников получили тройки, четверки и пятерки. При этом оказалось, что пятерки получили 4 человека, четверки – 15, а тройки – 10. Известно что и пятерку, и четверку получило двое детей, а и четверку, и тройку – пятеро, но никто не получил и пятёрку, и тройку одновременно. Сколько всего детей получивших оценки?

Даны множества $A$, $B$ и $C$. Известно, что $|A|=10$, $|B|=10$, $|C|=10$, $|A\cap B|=3$, $|B\cap C|=2$, $|C\cap A|=1$ и $|A\cap B\cap C|=0$. Найдите $|A\cup B\cup C|$

Для учеников класса работают кружки по математике, физике и информатике, в каждом занимается по 10 человек. При этом, у кружков по физике и математике 2 общих участника, у кружков по математике и информатике – 3 общих, а у кружков по физике и информатике – только 1 общий участник.

Сколько всего детей посещает кружки, если нет ребенка, занимающегося во всех трёх кружках?

Даны множества $A$, $B$ и $C$. Известно, что $|A|=14$, $|A\cap B|=10$, $|A\cap C|=5$ и $|A\cap B\cap C|=4$. Найдите $|A\backslash (B\cup C)|$.

Некоторые из учеников увлекаются рисованием, музыкой и танцами. При этом известно, что 14 ребят увлекается рисованием, 10 – рисованием и музыкой, 5 – рисованием и танцами, а 4 интересуется и рисованием, и музыкой, и танцами. Сколько детей увлекается только рисованием?

0

Заполните пропуски в решении задачи.

*Условие.*

_Ученики класса изучают иностранные языки: английский, французский и немецкий. Каждый язык учит 15 человек. При этом и английский, и французский изучают 4 человека, французский и немецкий – 5 детей, а английский и немецкий – 10. Сколько всего детей изучает языки, если есть ровно 3 ребёнка, изучающих все три языка?_

*Решение.*

Дети, изучающие языки, делятся на __ типов по набору изучаемых ими языков.
Детей, изучающих все три языка, по условие трое. Чтобы посчитать количество детей, изучающих ровно два конкретных языка, например, английский и французский, надо из общего числа детей, изучающих английский и французский вычесть количество детей, изучающих ещё и немецкий. То есть детей, изучающих только английский и французский – $4-3=1$.
Аналогично, __ ребёнка изучают только французский и немецкий, и 8 детей – только английский и немецкий. Чтобы посчитать количество детей, изучающих ровно один конкретный язык, например, английский, надо из общего числа детей, изучающих английский, вычесть количество детей, изучающих что-то ещё.
Есть __ варианта, что ещё кроме английского дети могут учить.

Либо они, в добавок к английскому, учат и французский и немецкий – таких 3 ребёнка.
Либо учат ещё французский, но не немецкий, таких, как мы посчитали ранее --- 1 ребёнок.
Либо учат ещё немецкий, но не французский. А таких, как было посчитано ранее --- 7 человек.

Итого только английский учат $15-3-1-8=3$.

Аналогично, только французский учат __ детей, а только немецкий – 2 ребёнка. Осталось сложить все найденные количества, чтобы узнать общее число детей. $3+1+2+8+3+9+2=28$ детей учат языки.

Даны множества $A$, $B$ и $C$. Известно, что $|A|=|B|=12$, $|A\cap B|=7$, $|B\cap C|=6$, $|C\cap A|=9$ и $|A\cap B\cap C|=5$. Найдите $|(A\cup B)\backslash C|$

Одноклассники записывались в спортивные секции: по плаванию, волейболу и борьбе. Известно, что на секции по плавнию и волейболу записалось по 12 человек, при этом пятеро записалось на все три секции. Семеро записалось и на плавание, и на волейбол, 6 – и на волейбол, и на борьбу, а 9 – и на плавание, и на борьбу.

Найдите количество детей, не записавшихся на борьбу, если каждый куда-то записался.

0

Заполните пропуски в решении задачи.

*Условие.*

_Каждый из 30 учеников 7А класса, готовясь к уроку литературы, выучил хотя бы одно из трёх стихотворений. Оказалось, что каждое из первых двух стихотворений выучило по 15 ребят, при этом и первое, и второе выучили 7 человек. И первое, и третье стихотворение выучили трое, а второе и третье – четверо. Сколько детей выучили третье стихотворение, если известно, что двое выучили все три?_

*Решение.*

Дети, выучившие третье стихотворение бывают 4 типов:
1) Выучившие все три стихотворения. Таких по условию 2.
2) Выучившие только первое и третье стихотворение. Чтобы их посчитать, вычтем из количества детей, выучивших первое и третье, число тех из них, кто выучил ещё и второе, и получим $3-2=1$ ребенок.
3) Выучившие только второе и третье стихотворение. Чтобы их посчитать, вычтем из количества детей, выучивших второе и третье, число тех из них, кто выучил ещё и первое, и получим __ ребенка
4) Выучившие только третье стихотворение. Чтобы посчитать их количество, посчитаем количество остальных, и вычтем из общего числа.

Остальные – это те, кто выучил: 
a) хотя бы одно из первых двух стихотворений;
б) первое и второе стихотворения;
в) только первое или только второе.
Ваш вариант ответа: __ 

Тех кто выучил первое – 15, а тех, кто выучил второе, но не первое – $15-7=8$. Суммарно таких детей 23.

Значит тех, кто выучил только третье – __.

Последним действием, сложим все найденные количества, чтобы получить общее число выучивших третье стихотворение. $2+1+2+7=12$ детей.

Даны множества $A$, $B$ и $C$. Известно, что $|A|=|B|=15$, $|A\cap B|=7$, $|B\cap C|=4$, $|C\cap A|=3$, $|A\cap B\cap C|=2$ и $|A\cup B\cup C|=30$. Найдите $|C|$

Каждый из учеников 7А класса, готовясь к уроку литературы, выучил хотя бы одно из трёх стихотворений. Оказалось, что каждое из первых двух стихотворений выучило по 15 ребят, при этом и первое, и второе выучили 7 человек. И первое, и третье стихотворение выучили трое, а второе и третье – четверо. Сколько детей выучили третье стихотворение, если известно, что двое выучили все три?

0

*Условие.*

_Каждый из 29 учеников 7Б класса , готовясь к уроку литературы, выучил хотя бы одно из трёх стихотворений. Оказалось, что каждое из стихотворений выучило по 15 ребят. При этом и первое, и второе выучили 4 человека, а второе и третье --- 5 человек. Сколько детей выучили и первое, и третье стихотворение, если известно, что трое выучили все три?_

*Решение.*

Дети, выучившие первое и третье стихотворения, это трое ребят, выучившие все три стихотворения, и те, кто выучил первое и третье, но не выучил второе. Посчитаем их количество. Рассмотрим детей не выучивших второе стихотворение.

Всего их $29-15=14$.

Из них __ выучили первое, а __ – третье, и каждый выучил хоть что-то.

Нужно найти количество тех из них, кто выучил и первое и третье. Из этих 14 детей 10 выучили третье, значит оставшиеся 4 – только первое.

Тогда из тех, кто выучил первое, __ выучили только первое, значит остальные 7 выучили и третье. То есть среди не выучивших второе 7 детей выучили первое и третье.

Итого детей выучивших первое и третье стихотворения $3+7=10$ человек.

Даны множества $A$, $B$ и $C$. Известно, что $|A|=|B|=|C|=15$, $|A\cap B|=7$, $|B\cap C|=6$, $|C\cap A|=9$ и $|A\cup B\cup C|=28$. Найдите $|A\cap B\cap C|$.

Каждый из 28 учеников 7В класса , готовясь к уроку литературы, выучил хотя бы одно из трёх стихотворений. Оказалось, что каждое из стихотворений выучило по 15 ребят.

При этом и первое, и второе выучили 7 человек, второе и третье – 6 человек, а первое и третье – 9. Сколько детей выучили выучили все три стихотворения?

Даны 4 множества, по 28 элементов в каждом. Любые два пересекаются по 21 элементу, любые три – по 15, а в пересечении всех четырёх – 10 элементов. Сколько элементов в объединении?

Контрольная состояла из 4 задач, каждую решило по 28 человек. При этом для любых двух задач нашелся ровно 21 человек, решивший обе. Для любых трёх задач ровно 15 людей решило их все. Сколько всего людей решило хоть что-то, если известно, что 10 человек решили все 4 задачи?